Příklady výpočtu podle Eurokódu 5 (IV.)

Datum: 14.3.2016  |  Autor: Ing. Bohumil Koželouh, CSc., soudní znalec  |  Zdroj: dle podkladů Hochschule Wismar, prof. Ralf-Werner Boddenberg  |  Recenzent: doc. Ing. Bohumil Straka, CSc., VUT Brno, doc. Ing. Petr Kuklík, CSc., ČVUT Praha

První tři části seriálu sloužily k seznámení s vývojem norem a jako podklady pro samotné výpočty podle Eurokódu 5 (ČSN EN 1995-1-1) a ČSN 73 1702 (modifikovaná DIN 1052:2004). Předmětem částí 4 a 5 jsou praktické příklady výpočtu. Vzhledem k tomu, že tyto postupy nejsou u nás příliš zažité, považujeme za velmi prospěšné se tomuto tématu dále věnovat.

Příklady 1 až 8

Předmluva a pomocné podklady pro výpočet viz část 1 až část 3.

POZNÁMKA Tyto příklady univerzity Wismar jsou určeny pro výroční a závěrečné zkoušky studentů. Příklady jsou zpravidla zaměřeny na určité dílčí posouzení nosného prvku nebo konstrukce (například vzpěrné pevnosti, nebo únosnosti v ohybu, nebo pevnosti spojovacích prostředků, deformace apod.) v souladu se zadáním. Nejde tedy o komplexní posouzení, které se požaduje v praxi. Na tento aspekt upozorňujeme v některých příkladech v poznámce.

V uvedených příkladech jsou na rozdíl od originální německé verze zavedeny aktuální hodnoty návrhové pevnosti homogenního lepeného lamelového dřeva podle tabulky 4. Ty jsou stanoveny na základě charakteristických hodnot podle ČSN EN 14080, tabulka 5, se součinitelem γM = 1,25 (ČSN EN 1995-1-1, tabulka 2.3). Originální verze vychází z v Německu dosud platných charakteristických hodnot podle dřívější ČSN EN 1194, tabulka 1, a součinitele γM = 1,3. Při výpočtech v praxi je třeba použít aktuální platné hodnoty.

Příklad 1

Má se ověřit, zda znázorněná střecha s posuvným hambálkem má dostatečnou bezpečnost proti vybočení. Dvojitá krokev má vždy dvojitý průřez ze dvou částí, které nejsou vzájemně spojeny.

Návrhová hodnota tlakové síly v dvojité krokvi je Fd = 115 kN

Podmínky použití: třída trvání zatížení krátkodobé a třída provozu 1.

Má se stanovit vzpěrná délka a posoudit stabilita

  • a) pro vzpěr k ose y (vybočení ve směru z) při uvážení, že všechny dvojité krokve jsou ve směru z udržovány ve stejných vzdálenostech, jak je znázorněno na pravé krokvi
  • b) pro vzpěr k ose z (vybočení ve směru y)

POZNÁMKA V tomto příkladu je posuzována krokev výlučně na vzpěr. V hambalkovém krovu je krokev obecně namáhána také na ohyb a je třeba posoudit také namáhání ohybem včetně průhybu. Významné je také posouzení vodorovné reakce v podpoře hambálkové soustavy.


Krokev C24 [mm]
Krokev C24 [mm]

Řešení příkladu 1

fc,0,d = 1,125 ‧ 12,9 = 14,5 N/mm2
 

vzorec
 

A = 2 ‧ 60 ‧ 220 = 26 400 mm2
 

a) Vzpěr k ose y (vybočení ve směru z, tedy kolmo k rovině nákresu)


 
iy = 0.289 ‧ 60 = 17,34 mm
 

β = 1,0 viz ČSN 73 1702, tabulka E.1, řádek 1
 

lef,y = β ‧ sy = 1,0 ‧ vzorec  = 1 588 mm
 

vzorec
 

b) Vzpěr k ose z (vybočení ve směru y, tedy v rovině nákresu)


 
iz = 0.289 ‧ 220 = 63,58 mm
 

(s1 = 4,45) > (0,7 ‧ s = 0,7 ‧ 6,35 = 4,445) → β = 1,0 viz ČSN 73 1702, tabulka E.1, řádek 6
 

lef,z = β ‧ sz = 1,0 ‧ 6 350 = 6 350 mm
 

λz = vzorec  = 99,9 → rozhodující
 

kc,y = 0,303 viz odst. 2.3
 

vzorec
 

Příklad 2

Nosník z lepeného lamelového dřeva GL28h je namáhaný v jedné kombinaci zatížení jednoosým ohybem a tahem a v druhé kombinaci zatížení jednoosým ohybem a tlakem. Nosník je zabezpečen proti klopení.

Má se posoudit únosnost v těchto krocích:

  • a) ověřit, zda může být vypočten průřezový modul netto Wy,n vztažený k těžišťové ose neoslabeného průřezu (vrtaný otvor pro kolík (SDü) uprostřed lze přitom zanedbat)
  • b) výpočet průřezového modulu netto Wy,n (vrtaný otvor uprostřed lze přitom zanedbat)
  • c) výpočet plochy průřezu netto An a posouzení únosnosti pro kombinaci zatížení My,d = 62,3 kNm a Fd = 214 kN (tah)
  • d) výpočet plochy průřezu netto An a posouzení únosnosti pro kombinaci zatížení My,d = 62,3 kNm a Fd = 270 kN (tlak)

Podmínky použití: třída trvání zatížení střednědobé a třída provozu 1.


 

Řešení příkladu 2

fc,0,d = 17,9 N/mm2
kh,y = 1,036
fm,d = 1,036 ‧ 17,9 = 18,5 N/mm2
ft,0,d = 1,036 ‧ 14,3 = 14,8 N/mm2
návrhové pevnosti viz odst. 2.1, tabulka 4
 

a) Ověření, zda může být vypočten modul průřezu netto Wy,n vztažený k těžišťové ose neoslabeného průřezu

A = 180 ‧ 420 = 75 600 mm2
 

ΔA = 1 ‧ 180 ‧ 30 = 5 400 mm2     při ohybu jsou v tažené zóně pouze 2 svorníky
 

vzorec Wy,n lze vypočítat pro těžišťovou čáru neoslabeného průřezu
 

b) Výpočet průřezového modulu Wy,n netto

vzorec
 

vzorec
 

c) Posouzení únosnosti pro tah a ohyb viz ČSN EN 1995-1-1, 6.2.3

An = 180 ‧ (420 – 3 ‧ 30) = 59 400 mm2      při namáhání tahem jsou v tažené zóně všechny 3 otvory
 

vzorec  = 3,60 N/mm2
 

vzorec
 

vzorec
 

d) Posouzení únosnosti pro tlak a ohyb viz ČSN EN 1995-1-1, 6.2.4

An = 180 ‧ 420 = 75 600 mm2      při namáhání tlakem se neuvažuje žádné oslabení
 

vzorec
 

vzorec  + 0,687 = 0,73 < 1
 

Příklad 3

Na horizontální nosník je zavěšen svislý prut pomocí dvou vnějších ocelových plechů a profilovaných hřebíků třídy únosnosti 3

  • a) Má se zkontrolovat uspořádání hřebíků ve dřevě pouze v horní skupině.
  • b) Pro jeden hřebík se má stanovit návrhová hodnota maximální únosnosti Fax,Rd pro namáhání ve směru osy hřebíku (vytažení). Porušení protažením hlavy není rozhodující.
  • c) Pro jeden hřebík se má stanovit návrhová hodnota maximální únosnosti Fv,Rd (střih) pro namáhání kolmo k ose hřebíku (Johansenův podíl pro smyk). Vnější plechy se uvažují jako tlusté.
  • d) Pro jeden hřebík se má stanovit návrhová hodnota maximální únosnosti Fv,Rd při uvážení únosnosti na vytažení. Z této únosnosti hřebíků se má stanovit pro horní skupinu maximální návrhová síla Fd.
  • e) Má se stanovit maximální návrhová tahová síla Fd z posouzení únosnosti namáhání v tahu pro dolní dřevěný prvek při uvážení zvláštních pravidel pro spoje namáhané tahem.

Všechny hřebíky jsou profilované hřebíky třídy únosnosti 3, d = 4,6 mm, nepředvrtané.

Třída trvání zatížení střednědobé a třída provozu 1 (kmod = 0,80)


 

Řešení příkladu 3:

a) Kontrola uspořádání hřebíků v horním dřevěném prvku viz ČSN EN 1995-1-1, tabulka 8.2

α = 90°; d = 4,6 mmmin vzdálenostexistující
a10,7 ‧ (5 + 5 ‧ cos α) ‧ d → 3,5 ‧ d16,1 mm20 mm
a20,7 ‧ 5 ‧ d → 3,5 ‧ d16,1 mm20 mm
a3,t− − −− − −− − −
a3,c− − −− − −− − −
a4,t(5 + 2 ‧ sin α) ‧ d → 7 ‧ d32,2 mm35 mm
a4,c5 ‧ d23 mm25 mm

b) Stanovení návrhové hodnoty Fax,Rd (vytažení)

tpen = 50 mm > (8 ‧ d = 8 ‧ 4,6 = 36,8 mm) → žádné zmenšení únosnosti
 

fax,k = 50 ‧ 10−6 ‧ 3802 = 7,22 N/mm2
 

Fax,Rk = vzorec  ‧ 4,6 ‧ 50 = 1 660,6 N
 

viz ČSN EN 1995-1-1, vztah (8.23) nebo odst. 2.5.5
 

vzorec  N
 

c) Stanovení návrhové hodnoty Fv,Rd,Joh (Johansenův podíl smyku) viz odst. 2.5.2, tabulka 10

treq = 1,172 ‧ 40 = 46,9 mm < 50 mm – alternativa: ocelový plech-dřevo treq = 10 ‧ d = 46 mm < 50 mm
 

Fv,Rd,Joh = vzorec  = 1 315 N
 

d) Maximální návrhová síla Fv,Rd z únosnosti hřebíků nahoře

Pro profilové hřebíky je součinitel kJoh = 0,50

vzorec
 

vzorec  Fv,Ed  ≤ Fv,Rd
 

Posouzení únosnosti pro jednu střihovou plochu jednoho spojovacího prostředku v podélném směru

vzorec viz odst. 2.5.1
 

kde je

Fd
návrhová hodnota střihového namáhání,
Fv,Ed
návrhová hodnota střihového namáhání na střihovou spáru jednoho spojovacího prostředku,
n
počet spojovacích prostředků v jedné řadě za sebou ve směru vláken,
m
počet řad spojovacích prostředků kolmo ke směru vláken,
p
počet střihových spár na jeden spojovací prostředek,
n ‧ m ‧ p
celkový počet střihových spár pro přenos síly Fd
 

vzorec  → Fd ≤ Fv,Rd ‧ n ‧ m ‧ p = 1 571 ‧ 2 ‧ 63 = 197,9 kN
 

e) Maximální návrhová síla Fv,Rd z únosnosti dolního dřevěného prvku

vzorec  ft,0,d = 1,1 ‧ 15,4  = 16,9 N/mm2
 

An = A = 120 ‧ 180 = 21 600 mm2
 

vzorec  max Fd = ft,0,d ‧ An
 

max Fd = 16,9 ‧ 21 600 = 365 040 N = 365 kN
 

Příklad 4

Na následujícím obrázku je znázorněno střední pole spojitého nosníku. Nosník je zatížen rovnoměrným zatížením a tahovou silou Fd.

Maximální moment je Md = 786,9 kNm.

Má se posoudit stabilita proti klopení pro třídu trvání zatížení krátkodobé a třídu provozu 1.


Řešení příkladu 4

(h > 600 mm) → fm,d = 1,125 ‧ 20,5  = 23,1 N/mm2
 

ft,0,d = 1,125 ‧ 16,4 = 18,45 N/mm2
 

A = 180 ‧ 1200 = 216 000 mm2
 

vzorec  = 43,2 ‧ 106 mm2
 

vzorec
 

vzorec
 

viz ČSN 73 1702, vztah (E.7) a tabulka E.2, řádek 4.2
 

vzorec
 

a1 = 1,30      a2 = 1,60      az = +600
 

vzorec je dostatečně přesné pro jehličnaté dřevo C24−C40 a lepené lamelové dřevo GL24h−GL32h
 

vzorec
 

vzorec viz odst. 2.4
 

kcrit = 0,894
 

Jednoosý ohyb a tah:

vzorec
 

vzorec
 

Příklad 5

Příhradový prut z lepeného lamelového dřeva odkloněný od svislého směru o 40° je uložen v průsečíku horizontální betonové desky a svislého sloupu z lepeného lamelového dřeva.

Má se vypočítat maximální únosnost dále znázorněného podporového styčníku v těchto krocích:

  • a) maximální návrhová hodnota horizontální podporové reakce Hd
  • b) maximální návrhová hodnota vertikální podporové reakce Vd

Podmínky použití: třída trvání zatížení střednědobé a třída provozu 1.


 

Řešení příkladu 5

Viz ČSN EN 1995-1-1, 6.1.4 a 6.1.5, ČSN 73 1702, 10.2.4.

vzorec
 

a) maximální návrhová hodnota horizontální reakce Hd

− z posouzení napětí v tlaku příhradového prutu GL32h

kc,90 = 1,0      zdůvodnění: vzdálenost l1 mezi tlačenými plochami je < 2 ‧ h
 

α = 50°
 

GL32h: fc,50,d = 2,59 N/mm2 viz ČSN EN 1995-1-1, odst. 6.2, vztah (6.16)
 

Aef = 220 ‧ (803 + 30 ‧ cos 40°) = 181 716 mm2
 

max Hd = 181 716 ‧ 2,59 = 470 644 N = 470,6 kN
 

− z posouzení napětí v tlaku na svislém dřevěném sloupu GL24h

kc,90 = 1,75
 

α = 90°
 

GL24h: fc,90,d = 1,6 N/mm2
 

Aef = 220 ‧ (803 + 30) = 183 260 mm2
 

max Hd = 183 260 ‧ 1,6 = 293 216 N = 293,2 kN
 

max Hd = 293,2 kN je rozhodující
 

b) maximální návrhová hodnota vertikální podporové reakce Vd

kc,90 = 1,0
 

α = 40°
 

GL32h: fc,40,d  = 3,49 N/mm2 viz ČSN EN 1995-1-1, odst.  6.2, vztah (6.16)
pro fc,0,d = 20,5 a fc,90,d = 1,6 N/mm2
 

Aef = 220 ‧ (720 + 30 ‧ sin 40°) = 162 642 mm2
 

max Vd = 162 642 ‧ 3,49 = 567 620 N = 567,6 kN
 

Příklad 6

Pro soustavu na obrázku se má ověřit, zda při daném zatížení vykazuje dostatečnou bezpečnost proti vybočení. Stanovte vzpěrné délky a ověřte stabilitu.

  • a) pro vybočení soustavy vybočením levé stojky k ose y (vybočení ve směru z)
  • b) pro vybočení pravé stojky

Podmínky použití: třída trvání zatížení krátkodobé a třída provozu 1.


 

Řešení příkladu 6

fc,0,d = 1,125 ‧ 20,5 = 23,1 N/mm2
 

a) Vybočení systému vybočením levé stojky k ose y

A = 160 ‧ 280 = 44 800 mm2
 

vzorec  = 5,47 N/mm2
 

vzorec  = 1,200
 

viz ČSN 73 1702, tab. E.1, řádek 3
 

vzorec  = 292,7 ‧ 106 mm4
 

vzorec  10 923 N/mm2
 

vzorec
 

viz ČSN 73 1702, tabulka E.1, řádek 3
 

lef = β ‧ h = 3,076 ‧ 3 000 = 9 228 mm
 

iy = 0,289 ‧ 280 = 80,92 mm
 

λyvzorec  = 114
 

kc,y = 0,296 viz odst. 2.3, tabulka 7
 

vzorec  0,80 < 1
 

b) Vybočení pravé stojky

A = 200 ‧ 200 = 40 000 mm2
 

vzorec  7,35 N/mm2
 

iy = ix = 0,289 ‧ 200 = 57,8 mm
 

lef,y = β ‧ sy = 1,0 ‧ 3 000 = 3 000 mm
 

λy vzorec  = 51,9
 

kc,y = 0,877 viz odst. 2.3, tabulka 7
 

vzorec  0,37 < 1
 

Příklad 7

Na jednodílný horizontální nosník se má připojit jednodílný šikmý tažený prut pomocí vnitřního ocelového plechu a kolíků (SD) /přesných svorníků (PB).

Návrhová hodnota tahové síly je Fd = 160 kN

Má se posoudit únosnost v těchto krocích:

  • a) ověřit uspořádání kolíků (SD) / přesných svorníků (PB) v šikmém taženém prutu
  • b) ověřit uspořádání kolíků v horizontálním nosníku
  • c) posoudit únosnost spojovacích prostředků v šikmém taženém prutu. Únosnost přesných svorníků (PB) v tahu se neuvažuje
  • d) posoudit únosnost spojovacích prostředků v horizontálním nosníku.

Podmínky použití: třída trvání zatížení krátkodobé a třída provozu 1 (kmod = 0,90)

POZNÁMKA Posouzení blokovým smykem podle ČSN EN 1995-1-1, Příloha A, Změna A2, zde není uvažováno.


 

Řešení příkladu 7

a) Ověření uspořádání kolíků (SD) / přesných svorníků (PB) v šikmém taženém prutu

Předpis při α = 0°nejméně [mm] při d = 16 mmpoužito [mm]
a1(3 + 2 ‧ cos α) ‧ d = 5 ‧ d8080
a23 ‧ d4850
a3,tmax {7 ‧ d ;  80 mm}112120
a3,c− − −− − −− − −
a4,t− − −− − −− − −
a4,c3 ‧ d4850

viz ČSN EN 1995-1-1, tabulka 8.5

b) Ověření uspořádání kolíků (SD) / přesných svorníků (PB) v horizontálním nosníku

Předpis při α = 0°nejméně [mm] při d = 16 mmpoužito [mm]
a1(3 + 2 ‧ cos α) ‧ d = 4,53 ‧ d72,580
a23 ‧ d4850
a3,t− − −− − −− − −
a3,c− − −− − −− − −
a4,tmax {(2 + 2 ‧ sin α) ‧ d ;   3 ‧ d }52,660
a4,c3 ‧ d4850

c) Posouzení únosnosti spojovacích prostředků v šikmém taženém prutu viz odst. 2.5.4, tabulka 13

α = 0°
 

t1,req = (1/1,082) ‧ 1,0 ‧ 89,5 = 82,7 mm < 95 mm
 

Fv,Rd = Fv,Rd,Joh = 1,125 ‧ 1,082 ‧ 1,0 ‧ 10,62 = 12,93 kN
 

Posouzení únosnosti pro jednu střihovou plochu jednoho spojovacího prostředku v podélném směru

Fv,Ed vzorec viz odst. 2.5.1
 

kde je

Fd
návrhová hodnota střihového namáhání,
Fv,Ed
návrhová hodnota střihového namáhání na střihovou spáru jednoho spojovacího prostředku,
n
počet spojovacích prostředků v jedné řadě za sebou ve směru vláken,
m
počet řad spojovacích prostředků kolmo ke směru vláken,
p
počet střihových spár na jeden spojovací prostředek,
n ‧ m ‧ p
celkový počet střihových spár pro přenos síly Fd
 

vzorec  8 889 N = 8,89 kN
 

Únosnost spoje s více spojovacími prostředky za sebou ve směru vláken může být u dřevěných prvků vzhledem k riziku štípání výrazně menší. Než součet únosností jednotlivých spojovacích prostředků. Pro každý připojovaný dřevěný prvek musí být splněna podmínka

vzorec viz odst. 2.5.1
 

kde je

Fv,Ed ‧ cos α
podíl střihového namáhání jednoho spojovacího prostředku na střihovou spáru ve směru vláken,
Fv,Rd
návrhová hodnota únosnosti jednoho spojovacího prostředku ve směru vláken,
α
úhel mezi střihovou silou a směrem vláken 0° ≤ α ≤ 90°,
n
počet spojovacích prostředků za sebou ve směru vláken v jedné řadě,
nef
účinný počet spojovacích prostředků za sebou v jedné řadě viz část 1, tabulka 5
 

Po dosazení

α = 0°; n = 3 → (nef / n) = 0,706
 

vzorec
 

d) Posouzení únosnosti spojovacích prostředků v horizontálním nosníku

α = 40°
 

t1,req = (1/1,082) ‧ 1,0 ‧ 99,8 = 92,2 mm < 95 mm
 

Fv,Rd = Fv,Rd,Joh = 1,125 ‧ 1,082 ‧ 1,0 ‧ 9,52 = 11,6 kN
 

Posouzení únosnosti pro jednu střihovou plochu jednoho spojovacího prostředku ve směru zatížení

vzorec  = 10 000 N = 10,0 kN
 

vzorec
 

Posouzení únosnosti pro jednu střihovou plochu jednoho spojovacího prostředku pro komponenty sil ve směru vláken

vzorec  0,80 < 1
 

Příklad 8

  • a) Proveďte posouzení tahových napětí pro dřevo šikmého taženého prutu z příkladu 7 pro třídu trvání zatížení krátkodobé a třídu provozu 1 při uvážení zvláštních pravidel pro tažené spoje.
  • b) Tři přesné svorníky ve skloněném taženém prutu z příkladu 7 jsou navíc zatíženy na vytažení. Vypočtěte návrhovou hodnotu tahové síly Ft,d, kterou musí tyto tři přesné svorníky společně přenést.

Řešení příkladu 8

a) Posouzení únosnosti šikmého taženého prutu při uvážení zvláštních pravidel pro tažené spoje

vzorec  → ft,0,d = 1,1 ‧ 1,125 ‧ 14,3 = 17,7 N/mm2
 

An = 2 ‧ 95 ‧ (200 − 3 ‧ 16) = 28 880 mm2
 

vzorec  5,54 N/mm2
 

vzorec viz ČSN 73 1702, 11.1.2 (1)
 

b) Tahová síla ve svornících namáhaných na vytažení

Fd = 0,5 ‧ 160 = 80 kN      (tahová síla v jednostranně namáhané příložce)
 

t = 95 mm      n = 3      a = 80 mm
 

vzorec  15 833 N = 15,8 kN viz ČSN 73 1702, 11.1.2 (3), vztah (138)
 

 
English Synopsis
Eurocode 5 – Design examples

Calculation according to Eurocode 5 examples 1 to 8. Preface and helping data for calculation see Part 1 to 3.

 

Hodnotit:  

Datum: 14.3.2016
Autor: Ing. Bohumil Koželouh, CSc., soudní znalec
Recenzent: doc. Ing. Bohumil Straka, CSc., VUT Brno, doc. Ing. Petr Kuklík, CSc., ČVUT Praha



Sdílet:  ikona Facebook  ikona Twitter  ikona Blogger  ikona Linkuj.cz  ikona Vybrali.sme.skTisk Poslat e-mailem Hledat v článcíchDiskuse (žádný příspěvek, přidat nový)


 
 
 

Aktuální články na ESTAV.czČeské vánoční trendyNové vedení Středočeského kraje zrušilo výstavbu rozhledny u ZdicOriginální svítidla a opojné světlo Ingo Maurera