Nejnavštěvovanější odborný web
pro stavebnictví a technická zařízení budov

Příklady výpočtu podle Eurokódu 5 (IV.)

Ing. Bohumil Koželouh, CSc., soudní znalec

Recenzovaný

První tři části seriálu sloužily k seznámení s vývojem norem a jako podklady pro samotné výpočty podle Eurokódu 5 (ČSN EN 1995-1-1) a ČSN 73 1702 (modifikovaná DIN 1052:2004). Předmětem částí 4 a 5 jsou praktické příklady výpočtu. Vzhledem k tomu, že tyto postupy nejsou u nás příliš zažité, považujeme za velmi prospěšné se tomuto tématu dále věnovat.

Příklady 1 až 8

Předmluva a pomocné podklady pro výpočet viz část 1 až část 3.

POZNÁMKA Tyto příklady univerzity Wismar jsou určeny pro výroční a závěrečné zkoušky studentů. Příklady jsou zpravidla zaměřeny na určité dílčí posouzení nosného prvku nebo konstrukce (například vzpěrné pevnosti, nebo únosnosti v ohybu, nebo pevnosti spojovacích prostředků, deformace apod.) v souladu se zadáním. Nejde tedy o komplexní posouzení, které se požaduje v praxi. Na tento aspekt upozorňujeme v některých příkladech v poznámce.

V uvedených příkladech jsou na rozdíl od originální německé verze zavedeny aktuální hodnoty návrhové pevnosti homogenního lepeného lamelového dřeva podle tabulky 4. Ty jsou stanoveny na základě charakteristických hodnot podle ČSN EN 14080, tabulka 5, se součinitelem γ_M = 1,25 (ČSN EN 1995-1-1, tabulka 2.3). Originální verze vychází z v Německu dosud platných charakteristických hodnot podle dřívější ČSN EN 1194, tabulka 1, a součinitele γ_M = 1,3. Při výpočtech v praxi je třeba použít aktuální platné hodnoty.

Příklad 1

Má se ověřit, zda znázorněná střecha s posuvným hambálkem má dostatečnou bezpečnost proti vybočení. Dvojitá krokev má vždy dvojitý průřez ze dvou částí, které nejsou vzájemně spojeny.

Návrhová hodnota tlakové síly v dvojité krokvi je F_d = 115 kN

Podmínky použití: třída trvání zatížení krátkodobé a třída provozu 1.

Má se stanovit vzpěrná délka a posoudit stabilita

a) pro vzpěr k ose y (vybočení ve směru z) při uvážení, že všechny dvojité krokve jsou ve směru z udržovány ve stejných vzdálenostech, jak je znázorněno na pravé krokvi
b) pro vzpěr k ose z (vybočení ve směru y)

POZNÁMKA V tomto příkladu je posuzována krokev výlučně na vzpěr. V hambalkovém krovu je krokev obecně namáhána také na ohyb a je třeba posoudit také namáhání ohybem včetně průhybu. Významné je také posouzení vodorovné reakce v podpoře hambálkové soustavy.

Krokev C24 [mm]

Řešení příkladu 1

f_c,0,d = 1,125 ‧ 12,9 = 14,5 N/mm²

A = 2 ‧ 60 ‧ 220 = 26 400 mm²

a) Vzpěr k ose y (vybočení ve směru z, tedy kolmo k rovině nákresu)

i_y = 0.289 ‧ 60 = 17,34 mm

β = 1,0 viz ČSN 73 1702, tabulka E.1, řádek 1

l_ef,y = β ‧ s_y = 1,0 ‧

= 1 588 mm

b) Vzpěr k ose z (vybočení ve směru y, tedy v rovině nákresu)

i_z = 0.289 ‧ 220 = 63,58 mm

(s₁ = 4,45) > (0,7 ‧ s = 0,7 ‧ 6,35 = 4,445) → β = 1,0 viz ČSN 73 1702, tabulka E.1, řádek 6

l_ef,z = β ‧ s_z = 1,0 ‧ 6 350 = 6 350 mm

λ_z =

= 99,9 → rozhodující

k_c,y = 0,303 viz odst. 2.3

Příklad 2

Nosník z lepeného lamelového dřeva GL28h je namáhaný v jedné kombinaci zatížení jednoosým ohybem a tahem a v druhé kombinaci zatížení jednoosým ohybem a tlakem. Nosník je zabezpečen proti klopení.

Má se posoudit únosnost v těchto krocích:

a) ověřit, zda může být vypočten průřezový modul netto W_y,n vztažený k těžišťové ose neoslabeného průřezu (vrtaný otvor pro kolík (SDü) uprostřed lze přitom zanedbat)
b) výpočet průřezového modulu netto W_y,n (vrtaný otvor uprostřed lze přitom zanedbat)
c) výpočet plochy průřezu netto A_n a posouzení únosnosti pro kombinaci zatížení M_y,d = 62,3 kNm a F_d = 214 kN (tah)
d) výpočet plochy průřezu netto A_n a posouzení únosnosti pro kombinaci zatížení M_y,d = 62,3 kNm a F_d = 270 kN (tlak)

Podmínky použití: třída trvání zatížení střednědobé a třída provozu 1.

Řešení příkladu 2

f_c,0,d = 17,9 N/mm²
k_h,y = 1,036
f_m,d = 1,036 ‧ 17,9 = 18,5 N/mm²
f_t,0,d = 1,036 ‧ 14,3 = 14,8 N/mm² návrhové pevnosti viz odst. 2.1, tabulka 4

a) Ověření, zda může být vypočten modul průřezu netto W_y,n vztažený k těžišťové ose neoslabeného průřezu

A = 180 ‧ 420 = 75 600 mm²

ΔA = 1 ‧ 180 ‧ 30 = 5 400 mm² při ohybu jsou v tažené zóně pouze 2 svorníky

→ W_y,n lze vypočítat pro těžišťovou čáru neoslabeného průřezu

b) Výpočet průřezového modulu W_y,n netto

c) Posouzení únosnosti pro tah a ohyb viz ČSN EN 1995-1-1, 6.2.3

A_n = 180 ‧ (420 – 3 ‧ 30) = 59 400 mm² při namáhání tahem jsou v tažené zóně všechny 3 otvory

= 3,60 N/mm²

d) Posouzení únosnosti pro tlak a ohyb viz ČSN EN 1995-1-1, 6.2.4

A_n = 180 ‧ 420 = 75 600 mm² při namáhání tlakem se neuvažuje žádné oslabení

+ 0,687 = 0,73 < 1

Příklad 3

Na horizontální nosník je zavěšen svislý prut pomocí dvou vnějších ocelových plechů a profilovaných hřebíků třídy únosnosti 3

a) Má se zkontrolovat uspořádání hřebíků ve dřevě pouze v horní skupině.
b) Pro jeden hřebík se má stanovit návrhová hodnota maximální únosnosti F_ax,Rd pro namáhání ve směru osy hřebíku (vytažení). Porušení protažením hlavy není rozhodující.
c) Pro jeden hřebík se má stanovit návrhová hodnota maximální únosnosti F_v,Rd (střih) pro namáhání kolmo k ose hřebíku (Johansenův podíl pro smyk). Vnější plechy se uvažují jako tlusté.
d) Pro jeden hřebík se má stanovit návrhová hodnota maximální únosnosti F_v,Rd při uvážení únosnosti na vytažení. Z této únosnosti hřebíků se má stanovit pro horní skupinu maximální návrhová síla F_d.
e) Má se stanovit maximální návrhová tahová síla F_d z posouzení únosnosti namáhání v tahu pro dolní dřevěný prvek při uvážení zvláštních pravidel pro spoje namáhané tahem.

Všechny hřebíky jsou profilované hřebíky třídy únosnosti 3, d = 4,6 mm, nepředvrtané.

Třída trvání zatížení střednědobé a třída provozu 1 (k_mod = 0,80)

Řešení příkladu 3:

a) Kontrola uspořádání hřebíků v horním dřevěném prvku viz ČSN EN 1995-1-1, tabulka 8.2

	`α` = 90°; `d` = 4,6 mm	min vzdálenost	existující
`a`₁	0,7 ‧ (5 + 5 ‧ cos `α`) ‧ `d` → 3,5 ‧ `d`	16,1 mm	20 mm
`a`₂	0,7 ‧ 5 ‧ `d` → 3,5 ‧ `d`	16,1 mm	20 mm
`a`_3,t	− − −	− − −	− − −
`a`_3,c	− − −	− − −	− − −
`a`_4,t	(5 + 2 ‧ sin `α`) ‧ `d` → 7 ‧ `d`	32,2 mm	35 mm
`a`_4,c	5 ‧ `d`	23 mm	25 mm

b) Stanovení návrhové hodnoty F_ax,Rd (vytažení)

t_pen = 50 mm > (8 ‧ d = 8 ‧ 4,6 = 36,8 mm) → žádné zmenšení únosnosti

f_ax,k = 50 ‧ 10⁻⁶ ‧ 380² = 7,22 N/mm²

F_ax,Rk =

‧ 4,6 ‧ 50 = 1 660,6 N

viz ČSN EN 1995-1-1, vztah (8.23) nebo odst. 2.5.5

c) Stanovení návrhové hodnoty F_v,Rd,Joh (Johansenův podíl smyku) viz odst. 2.5.2, tabulka 10

t_req = 1,172 ‧ 40 = 46,9 mm < 50 mm – alternativa: ocelový plech-dřevo t_req = 10 ‧ d = 46 mm < 50 mm

F_v,Rd,Joh =

= 1 315 N

d) Maximální návrhová síla F_v,Rd z únosnosti hřebíků nahoře

Pro profilové hřebíky je součinitel k_Joh = 0,50

F_v,Ed ≤ F_v,Rd

Posouzení únosnosti pro jednu střihovou plochu jednoho spojovacího prostředku v podélném směru

viz odst. 2.5.1

kde je

F_d: návrhová hodnota střihového namáhání,
F_v,Ed: návrhová hodnota střihového namáhání na střihovou spáru jednoho spojovacího prostředku,
n: počet spojovacích prostředků v jedné řadě za sebou ve směru vláken,
m: počet řad spojovacích prostředků kolmo ke směru vláken,
p: počet střihových spár na jeden spojovací prostředek,
n ‧ m ‧ p: celkový počet střihových spár pro přenos síly F_d

→ F_d ≤ F_v,Rd ‧ n ‧ m ‧ p = 1 571 ‧ 2 ‧ 63 = 197,9 kN

e) Maximální návrhová síla F_v,Rd z únosnosti dolního dřevěného prvku

f_t,0,d = 1,1 ‧ 15,4 = 16,9 N/mm²

A_n = A = 120 ‧ 180 = 21 600 mm²

max F_d = f_t,0,d ‧ A_n

max F_d = 16,9 ‧ 21 600 = 365 040 N = 365 kN

Příklad 4

Na následujícím obrázku je znázorněno střední pole spojitého nosníku. Nosník je zatížen rovnoměrným zatížením a tahovou silou F_d.

Maximální moment je M_d = 786,9 kNm.

Má se posoudit stabilita proti klopení pro třídu trvání zatížení krátkodobé a třídu provozu 1.

Řešení příkladu 4

(h > 600 mm) → f_m,d = 1,125 ‧ 20,5 = 23,1 N/mm²

f_t,0,d = 1,125 ‧ 16,4 = 18,45 N/mm²

A = 180 ‧ 1200 = 216 000 mm²

= 43,2 ‧ 106 mm²

viz ČSN 73 1702, vztah (E.7) a tabulka E.2, řádek 4.2

a₁ = 1,30 a₂ = 1,60 a_z = +600

je dostatečně přesné pro jehličnaté dřevo C24−C40 a lepené lamelové dřevo GL24h−GL32h

viz odst. 2.4

k_crit = 0,894

Jednoosý ohyb a tah:

Příklad 5

Příhradový prut z lepeného lamelového dřeva odkloněný od svislého směru o 40° je uložen v průsečíku horizontální betonové desky a svislého sloupu z lepeného lamelového dřeva.

Má se vypočítat maximální únosnost dále znázorněného podporového styčníku v těchto krocích:

a) maximální návrhová hodnota horizontální podporové reakce H_d
b) maximální návrhová hodnota vertikální podporové reakce V_d

Podmínky použití: třída trvání zatížení střednědobé a třída provozu 1.

Řešení příkladu 5

Viz ČSN EN 1995-1-1, 6.1.4 a 6.1.5, ČSN 73 1702, 10.2.4.

a) maximální návrhová hodnota horizontální reakce H_d

− z posouzení napětí v tlaku příhradového prutu GL32h

k_c,90 = 1,0 zdůvodnění: vzdálenost l₁ mezi tlačenými plochami je < 2 ‧ h

α = 50°

GL32h: f_c,50,d = 2,59 N/mm² viz ČSN EN 1995-1-1, odst. 6.2, vztah (6.16)

A_ef = 220 ‧ (803 + 30 ‧ cos 40°) = 181 716 mm²

max H_d = 181 716 ‧ 2,59 = 470 644 N = 470,6 kN

− z posouzení napětí v tlaku na svislém dřevěném sloupu GL24h

k_c,90 = 1,75

α = 90°

GL24h: f_c,90,d = 1,6 N/mm²

A_ef = 220 ‧ (803 + 30) = 183 260 mm²

max H_d = 183 260 ‧ 1,6 = 293 216 N = 293,2 kN

max H_d = 293,2 kN je rozhodující

b) maximální návrhová hodnota vertikální podporové reakce V_d

k_c,90 = 1,0

α = 40°

GL32h: f_c,40,d = 3,49 N/mm² viz ČSN EN 1995-1-1, odst. 6.2, vztah (6.16)
pro f_c,0,d = 20,5 a f_c,90,d = 1,6 N/mm²

A_ef = 220 ‧ (720 + 30 ‧ sin 40°) = 162 642 mm²

max V_d = 162 642 ‧ 3,49 = 567 620 N = 567,6 kN

Příklad 6

Pro soustavu na obrázku se má ověřit, zda při daném zatížení vykazuje dostatečnou bezpečnost proti vybočení. Stanovte vzpěrné délky a ověřte stabilitu.

a) pro vybočení soustavy vybočením levé stojky k ose y (vybočení ve směru z)
b) pro vybočení pravé stojky

Podmínky použití: třída trvání zatížení krátkodobé a třída provozu 1.

Řešení příkladu 6

f_c,0,d = 1,125 ‧ 20,5 = 23,1 N/mm²

a) Vybočení systému vybočením levé stojky k ose y

A = 160 ‧ 280 = 44 800 mm²

= 5,47 N/mm²

= 1,200

viz ČSN 73 1702, tab. E.1, řádek 3

= 292,7 ‧ 10⁶ mm⁴

10 923 N/mm²

viz ČSN 73 1702, tabulka E.1, řádek 3

l_ef = β ‧ h = 3,076 ‧ 3 000 = 9 228 mm

i_y = 0,289 ‧ 280 = 80,92 mm

λ_y

= 114

k_c,y = 0,296 viz odst. 2.3, tabulka 7

0,80 < 1

b) Vybočení pravé stojky

A = 200 ‧ 200 = 40 000 mm²

7,35 N/mm²

i_y = i_x = 0,289 ‧ 200 = 57,8 mm

l_ef,y = β ‧ s_y = 1,0 ‧ 3 000 = 3 000 mm

λ_y

= 51,9

k_c,y = 0,877 viz odst. 2.3, tabulka 7

0,37 < 1

Příklad 7

Na jednodílný horizontální nosník se má připojit jednodílný šikmý tažený prut pomocí vnitřního ocelového plechu a kolíků (SD) /přesných svorníků (PB).

Návrhová hodnota tahové síly je F_d = 160 kN

Má se posoudit únosnost v těchto krocích:

a) ověřit uspořádání kolíků (SD) / přesných svorníků (PB) v šikmém taženém prutu
b) ověřit uspořádání kolíků v horizontálním nosníku
c) posoudit únosnost spojovacích prostředků v šikmém taženém prutu. Únosnost přesných svorníků (PB) v tahu se neuvažuje
d) posoudit únosnost spojovacích prostředků v horizontálním nosníku.

Podmínky použití: třída trvání zatížení krátkodobé a třída provozu 1 (k_mod = 0,90)

POZNÁMKA Posouzení blokovým smykem podle ČSN EN 1995-1-1, Příloha A, Změna A2, zde není uvažováno.

Řešení příkladu 7

a) Ověření uspořádání kolíků (SD) / přesných svorníků (PB) v šikmém taženém prutu

	Předpis při `α` = 0°	nejméně [mm] při `d` = 16 mm	použito [mm]
`a`₁	(3 + 2 ‧ cos `α`) ‧ `d` = 5 ‧ `d`	80	80
`a`₂	3 ‧ `d`	48	50
`a`_3,t	max {7 ‧ `d` ; 80 mm}	112	120
`a`_3,c	− − −	− − −	− − −
`a`_4,t	− − −	− − −	− − −
`a`_4,c	3 ‧ `d`	48	50

viz ČSN EN 1995-1-1, tabulka 8.5

b) Ověření uspořádání kolíků (SD) / přesných svorníků (PB) v horizontálním nosníku

	Předpis při `α` = 0°	nejméně [mm] při `d` = 16 mm	použito [mm]
`a`₁	(3 + 2 ‧ cos `α`) ‧ `d` = 4,53 ‧ `d`	72,5	80
`a`₂	3 ‧ `d`	48	50
`a`_3,t	− − −	− − −	− − −
`a`_3,c	− − −	− − −	− − −
`a`_4,t	max {(2 + 2 ‧ sin `α`) ‧ `d` ; 3 ‧ `d` }	52,6	60
`a`_4,c	3 ‧ `d`	48	50

c) Posouzení únosnosti spojovacích prostředků v šikmém taženém prutu viz odst. 2.5.4, tabulka 13

α = 0°

t_1,req = (1/1,082) ‧ 1,0 ‧ 89,5 = 82,7 mm < 95 mm

F_v,Rd = F_v,Rd,Joh = 1,125 ‧ 1,082 ‧ 1,0 ‧ 10,62 = 12,93 kN

Posouzení únosnosti pro jednu střihovou plochu jednoho spojovacího prostředku v podélném směru

F_v,Ed

viz odst. 2.5.1

kde je

F_d: návrhová hodnota střihového namáhání,
F_v,Ed: návrhová hodnota střihového namáhání na střihovou spáru jednoho spojovacího prostředku,
n: počet spojovacích prostředků v jedné řadě za sebou ve směru vláken,
m: počet řad spojovacích prostředků kolmo ke směru vláken,
p: počet střihových spár na jeden spojovací prostředek,
n ‧ m ‧ p: celkový počet střihových spár pro přenos síly F_d

8 889 N = 8,89 kN

Únosnost spoje s více spojovacími prostředky za sebou ve směru vláken může být u dřevěných prvků vzhledem k riziku štípání výrazně menší. Než součet únosností jednotlivých spojovacích prostředků. Pro každý připojovaný dřevěný prvek musí být splněna podmínka

viz odst. 2.5.1

kde je

F_v,Ed ‧ cos α: podíl střihového namáhání jednoho spojovacího prostředku na střihovou spáru ve směru vláken,
F_v,Rd: návrhová hodnota únosnosti jednoho spojovacího prostředku ve směru vláken,
α: úhel mezi střihovou silou a směrem vláken 0° ≤ α ≤ 90°,
n: počet spojovacích prostředků za sebou ve směru vláken v jedné řadě,
n_ef: účinný počet spojovacích prostředků za sebou v jedné řadě viz část 1, tabulka 5

Po dosazení

α = 0°; n = 3 → (n_ef / n) = 0,706

d) Posouzení únosnosti spojovacích prostředků v horizontálním nosníku

α = 40°

t_1,req = (1/1,082) ‧ 1,0 ‧ 99,8 = 92,2 mm < 95 mm

F_v,Rd = F_v,Rd,Joh = 1,125 ‧ 1,082 ‧ 1,0 ‧ 9,52 = 11,6 kN

Posouzení únosnosti pro jednu střihovou plochu jednoho spojovacího prostředku ve směru zatížení

= 10 000 N = 10,0 kN

Posouzení únosnosti pro jednu střihovou plochu jednoho spojovacího prostředku pro komponenty sil ve směru vláken

0,80 < 1

Příklad 8

a) Proveďte posouzení tahových napětí pro dřevo šikmého taženého prutu z příkladu 7 pro třídu trvání zatížení krátkodobé a třídu provozu 1 při uvážení zvláštních pravidel pro tažené spoje.
b) Tři přesné svorníky ve skloněném taženém prutu z příkladu 7 jsou navíc zatíženy na vytažení. Vypočtěte návrhovou hodnotu tahové síly F_t,d, kterou musí tyto tři přesné svorníky společně přenést.