Fyzikální podstata zvuku – vlnová rovnice

následující text
Obr. 1: Příčné a podélné vlnění
Obr. 1: Příčné a podélné vlnění

Zvuk je mechanické vlnění pružného prostředí, které vnímáme sluchem. Definice zvuku tak má dvě části: fyzikální „mechanické vlnění pružného prostředí“ a fyziologickou „které vnímáme sluchem“. V pevných látkách se může zvuk šířit podélným nebo příčným vlněním anebo jejich kombinací – např. ohybovým nebo torsním vlněním. V plynech a kapalinách však dochází pouze k podélnému vlnění. To je charakteristické tím, že směr kmitání jednotlivých malých částí hmoty je shodný se směrem šíření vlny. Souvislost mezi příčným a podélným vlněním je naznačena na obr. 1. Od místa vzniku vlnění (zdroje zvuku) se vlnění šíří postupně. To je příčinou toho, že sousední částice hmoty kmitají vždy s rozdílnou fází tak, jak vlnění do různých míst s různým časovým zpožděním dospělo. Výsledkem tohoto nestejného pohybu částic jsou místní a časové změny hustoty a tedy i tlaku plynu. Tyto změny popisuje vlnová rovnice.

Barometrický tlak p0 [Pa] se mění jen zvolna v závislosti na atmosférických podmínkách. Rozdíl mezi barometrickým tlakem a skutečným tlakem plynu při akustickém ději se nazývá akustický tlak p [Pa]. Změny akustického tlaku naopak probíhají velmi rychle tak, že v tomto krátkém čase nemůže dojít k významné výměně tepla mezi jednotlivými částicemi plynu. Proto se uvedené změny považují za adiabatické. Platí stavová rovnice plynu

vzorec 1(1)
 

kde pc [Pa] je počáteční celkový tlak, V0 [m3] je počáteční objem plynu odpovídající pouze počátečnímu tlaku. Ten se při působení akustického tlaku změní na (V0 + ΔV). Mocnitel γ [-] je poměr měrných tepelných kapacit plynu

vzorec 2(2)
 

cp [J kg−1 K−1] je měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku a cv [J kg−1 K−1] je měrná tepelná kapacita při konstantním objemu. Pro vzduch (bez CO2) je γ = 1,4. Po úpravě rovnice (1) se může psát

vzorec 3(3)
 

Protože vzorec je velmi malé, lze rovnici (3) aproximovat na tvar

vzorec 4(4)
 

Z rovnice (4) lze vyjádřit akustický tlak

vzorec 5(5)
 

kde K = γpc [Pa] je objemový modul pružnosti plynu.

Obr. 2: K odvození vlnové rovnice
Obr. 2: K odvození vlnové rovnice

Relativně jednoduchým příkladem šíření zvuku jsou rovinné vlny. Časové a prostorové změny akustického tlaku nastávají jen ve směru x šíření zvukových vln, zatímco při změně souřadnic y a z zůstává tlak konstantní. Možným příkladem rovinných vln je šíření zvuku v přímém potrubí o jednotkové průřezové ploše S = 1 m2 (viz vyobrazení). Částice v rovině 1 mají okamžitou výchylku ξ [m] a částice v rovině 2, která je od roviny 1 vzdálena Δx metrů, mají okamžitou výchylku

vzorec 6(6)
 

Původní objem V0 = Δx vymezený sledovanými rovinami 1 a 2 vzroste o hodnotu

vzorec 7(7)
 

Poměr vzorec 7a lze dosadit do vztahu (5)

vzorec 8(8)
 

Jestliže v rovině 1 působí akustický tlak p [Pa], pak v rovině 2 působí tlak

vzorec 9(9)
 

Rozdíl vzorec 9a tlaků způsobí pohyb plynu mezi oběma rovinami. Hmotnost vzduchu mezi oběma rovinami (plošná hmotnost, neboť průřezová plocha myšleného potrubí je 1 m2) je  = ρ ‧ Δx [kg.m−2]. Lze použít Newtonovy pohybové zákony F = −m ‧ a, kde sílu lze nahradit tlakem, hmotnost plošnou hmotností a zrychlení vyjádřit jako druhou derivaci výchylky podle času.

vzorec 10(10)
 

Dělením obou stran rovnice (10) Δx se obdrží pohybová rovnice

vzorec 11(11)
 

která se dále derivuje podle x a upraví.

vzorec 11a
 

vzorec 12(12)
 

Rovnici (8) lze derivovat dvakrát podle času

vzorec 13(13)
 

Dosazením pravé strany rovnice (12) za odpovídající část pravé stany rovnice (13) se obdrží vlnová rovnice

vzorec 14(14)
 

kde vzorec 14a [m.s−1] je rychlost zvuku. Při teplotě 0 °C, běžném tlaku p0 = 101,325 kPa a objemové hmotnosti vzduchu ρ0 = 1,29 kg.m-3 je rychlost zvuku ve vzduchu c0 = 331,5 m.s−1. Rychlost zvuku ve vzduchu se nepatrně mění s teplotou. Pro technické výpočty se používá hodnota c0 = 340 m.s−1 odpovídající teplotě 14,2 °C.

Eliminací p lze z rovnic (8) a (11) získat vlnovou rovnici pro výchylku

vzorec 15(15)
 

V pravoúhlých souřadnicích x, y, z pro třírozměrný prostor má vlnová rovnice tvar

vzorec 16(16)
 

Jako řešení vlnové rovnice vyhovuje každá funkce g s argumentem (t − x / c), což lze dokázat dosazením druhých parciálních derivací

vzorec 17a     a     vzorec 17b(17)
 

do rovnice (14). Specielně pro harmonické (sinové nebo kosinové) vlnění lze jako řešení vlnové rovnice (14) uvažovat funkci

vzorec 18(18)
 

kde A [Pa] je amplituda akustického tlaku a ω [s−1] je kruhová frekvence. Ta je rovna 2π násobku kmitočtu f [Hz]. Kmitočet vyjadřuje rychlost opakování kmitavého pohybu počtem kmitů za sekundu.

ω = 2πf(19)
 

Obdobně pro harmonické vlnění je řešením rovnice (15) funkce

vzorec 20(20)
 

kde U [m] je amplituda výchylky.

V rovnicích (18) a (20) je vzorec 20a [m−1] vlnové číslo a λ [m] je vlnová délka tj. dráha, kterou urazí vlna během jednoho kmitu. Vlnová délka souvisí s kmitočtem

vzorec 21(21)
 

Obr. 3: Součet tří harmonických vlnění
Obr. 3: Součet tří harmonických vlnění

Pro analýzu zvuku má harmonické vlnění zvláštní význam. Složitější periodické pohyby částic lze totiž vždy vyjádřit jako součet konečného počtu nebo definované nekonečné řady harmonických pohybů s různými amplitudami a úhlovými rychlostmi (a tedy i různými kmitočty a vlnovými délkami). Jako příklad je vyobrazeno příčné vlnění, které vznikne jako součet tří vlnění harmonických. Je však třeba mít na paměti, že v akustice se jedná o vlnění podélné. Ale i to je vždy možné rozkládat na jednotlivá vlnění harmonická. Rozklad funkce na její harmonické složky je spojen se jménem francouzského matematika a fyzika Jean-Baptiste Joseph Fouriera (1768–1830). Technická akustika však podrobnou analýzu kmitočtů nahrazuje jednodušší představou akustického spektra. Akustickým spektrem se rozumí soustava hodnot sledované akustické veličiny (např. hladiny akustického tlaku) uváděná v závislosti na kmitočtu. Často se uvádí formou grafu nebo tabulky. Při výpočtech se často používá oktávové spektrum v rozsahu 125 až 4000 Hz, případně doplněné o oktávy 63 a 8000 Hz. Zvuk o kmitočtu nižším než 125 resp. 63 Hz je vnímán sluchem člověka s malou citlivostí a nebývá proto zpravidla příčinou závad. Zvuk o vyšším kmitočtu než 4000 resp. 8000 Hz je při šíření v budovách dobře tlumen, takže se na závadách zpravidla také nepodílí.

následující text
 

Sdílet:  ikona Facebook  ikona Twitter  ikona Blogger  ikona Linkuj.cz  ikona Vybrali.sme.skTisk 

 
 
 

Aktuální články na ESTAV.czStavebním firmám začínají chybět dělníciPříprava garáže a vrat před zimouOutsourcing logistiky - Wakestone Logistics